Applet lineare Optik
Strahlengangberechnung
Eine kleine Anleitung
physikalischer Hintergrund
Allgemein sind Strahlengänge in der Optik nicht immer einfach zu
berechnen. Jedoch gibt es in der geometrischen Optik nicht nur ein
paar Näherungen, die die Rechnungen deutlich vereinfachen, sondern
auch die Matrix-Methode, mit der man relativ einfach und
schnell zum Ergebnis kommt. Sie wurde zu Beginn der 1930er Jahren von
T. Smith aufgeworfen, fand jedoch erst in den 60ern mit dem Aufkommen
von Rechenmaschinen und Computern größeren
Anklang. Seine Idee von der Berechnung des Strahlenganges mit
Matrizen liegt nahe, da sich die linearen bzw. linear genäherten
Ausdrücke geschickt durch lineare Operatoren, also durch Matrizen
darstellen lassen.
Abbildung 1:
Strahlengang duch eine Linse.
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Zur Herleitung braucht man zuerst die Refraktionsformel
mit |
(1) |
die eine Brechung von Licht an einer dünnen Linse mit einem
(ersten) Krümmungsradius im Rahmen der geometrischen Optik
beschreibt. Außerdem beschreibt die Übergangsformel
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(2) |
den Weg des Lichtes innerhalb der Linse. Unter der Vorraussetzung,
dass
(linker Teil in Abb.1) ist,
lassen sich diese Gleichungen durch eine
Matrixgleichung ausdrücken:
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(3) |
Führt man nun eine Vektorschreibweise ein, in der die erste
Komponente das Produkt aus Brechungsindex des Mediums und dem Winkel
des Strahls ist und die zweite Komponente den Abstand zur optischen
Achse enthält, so ergibt sich mit
und |
(4) |
Brechungsmatrix |
(5) |
für die erste Brechung eines Lichtstrahls an einer Linse die
Gleichung:
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(6) |
Analog geht man für den Weg durch die Linse vor und bekommt die
Übergangsgleichung
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(7) |
oder
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(8) |
mit der Übergangsmatrix
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(9) |
die den in gebrochenen Strahl durch die Linse zu
überführt.
Um die letzte Brechung auf der anderen Seite der Linse noch durch
Matrizen darzustellen, bekommt man wieder eine Gleichung wie
Gl. 3 nur diesmal mit einer entsprechend der anderen
Krümmung veränderten Brechungsmatrix
mit Brechkraft |
(10) |
Nun läßt sich also der Weg des Lichtstrahls druch die Linse genau
durch die Brechungs- und Überführungsmatrizen beschreiben. Es gilt
also:
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(11) |
Das Produkt
der drei Matrizen
nennt man Systemmatrix.
Um nun einen konkreten Strahlengang zu berechnen, fehlt nicht mehr
viel: Die Lichtquelle muß mit einer Übertragungsmatrix
auf die Linse ,,transportiert'' werden, dann mit der
Systemmartix
gebündelt oder zerstreut werden und zum
Schluß wieder mit einer Transformationsmatrix (Übergangs-) in die
Bildebene abgebildet werden. Diese Transformations- oder
Übergangsmatrizen sind von der Form
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(12) |
wobei hier der Abstand zwischen der Lichtquelle (0) und der
Linse (1) ist.
Sollen mehrere Linsen behandelt werden, so müssen die Matrizen in
geschickter Weise kombiniert werden:
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(13) |
Das bedeutet also, daß man auch ganze Linsensysteme mit
Gesamtsystemmatrix durch eine Linse mit derselben Systemmatrix
darstellen kann. Das gilt jedoch nur in der (geometrischen)
Näherung ! (siehe auch Anleitung).
Erstellt von Philipp Koch
Universität Konstanz - Lehrstuhl Nielaba