Applet lineare Optik

Strahlengangberechnung




Eine kleine Anleitung


physikalischer Hintergrund


Allgemein sind Strahlengänge in der Optik nicht immer einfach zu berechnen. Jedoch gibt es in der geometrischen Optik nicht nur ein paar Näherungen, die die Rechnungen deutlich vereinfachen, sondern auch die Matrix-Methode, mit der man relativ einfach und schnell zum Ergebnis kommt. Sie wurde zu Beginn der 1930er Jahren von T. Smith aufgeworfen, fand jedoch erst in den 60ern mit dem Aufkommen von Rechenmaschinen und Computern größeren Anklang. Seine Idee von der Berechnung des Strahlenganges mit Matrizen liegt nahe, da sich die linearen bzw. linear genäherten Ausdrücke geschickt durch lineare Operatoren, also durch Matrizen darstellen lassen.

Abbildung 1: Strahlengang duch eine Linse.
\includegraphics[width=6.5cm]{linse1.eps}

Zur Herleitung braucht man zuerst die Refraktionsformel

$\displaystyle n_{Linse}\alpha_{2}\,=\,n_{Luft}\alpha_{1}\,-\,D_{1}y_{1}$   mit$\displaystyle \qquad D_{1} = \frac{n_{Linse}-n_{Luft}}{R_{1}},$ (1)

die eine Brechung von Licht an einer dünnen Linse mit einem (ersten) Krümmungsradius im Rahmen der geometrischen Optik beschreibt. Außerdem beschreibt die Übergangsformel

$\displaystyle y_{2}\,=\,y_{1}\,+\,d_{21}\alpha_{2}$ (2)

den Weg des Lichtes innerhalb der Linse. Unter der Vorraussetzung, dass $ y_{i,Luft}\, = \, y_{1,Linse}$ (linker Teil in Abb.1) ist, lassen sich diese Gleichungen durch eine Matrixgleichung ausdrücken:

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} n_{Linse}\alpha_{2} \\  y_{1,Linse} \end{...
..., \left( \begin{array}{c} n_{Luft}\alpha_{1} \\  y_{1,Luft} \end{array} \right)$ (3)

Führt man nun eine Vektorschreibweise ein, in der die erste Komponente das Produkt aus Brechungsindex des Mediums und dem Winkel des Strahls ist und die zweite Komponente den Abstand zur optischen Achse enthält, so ergibt sich mit

$\displaystyle \vec{r}_{1, Linse} := \left( \begin{array}{c} n_{Linse}\alpha_{2}...
...\left( \begin{array}{c} n_{Linse}\alpha_{2} \\  y_{1,Linse} \end{array} \right)$   und (4)

Brechungsmatrix $\displaystyle \mathbf{R_{1}} := \left( \begin{array}{cc} 1 & -D_{1} \\  0 & 1 \end{array} \right)$ (5)

für die erste Brechung eines Lichtstrahls an einer Linse die Gleichung:

$\displaystyle \vec{r}_{1, Linse}\, = \, \mathbf{R}_{1}\vec{r}_{1, Luft},$ (6)

Analog geht man für den Weg durch die Linse vor und bekommt die Übergangsgleichung

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} n_{Linse}\alpha_{2} \\  y_{2,Linse} \end{...
...left( \begin{array}{c} n_{Linse}\alpha_{2} \\  y_{1, Linse} \end{array} \right)$ (7)

oder

$\displaystyle \vec{r}_{2, Linse}\, = \, \mathbf{T}_{21}\vec{r}_{1, Linse},$ (8)

mit der Übergangsmatrix

$\displaystyle \mathbf{T}_{21}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  \frac{d_{21}}{n_{Linse}} & 1 \end{array} \right)$ (9)

die den in $ P_{1}$ gebrochenen Strahl durch die Linse zu $ P_{2}$ überführt.

Um die letzte Brechung auf der anderen Seite der Linse noch durch Matrizen darzustellen, bekommt man wieder eine Gleichung wie Gl. 3 nur diesmal mit einer entsprechend der anderen Krümmung veränderten Brechungsmatrix

$\displaystyle \mathbf{R_{2}} := \left( \begin{array}{cc} 1 & -D_{2} \\  0 & 1 \end{array} \right)$   mit Brechkraft $\displaystyle D_{2} = \frac{n_{Luft}-n_{Linse}}{R_{2}}$ (10)

Nun läßt sich also der Weg des Lichtstrahls druch die Linse genau durch die Brechungs- und Überführungsmatrizen beschreiben. Es gilt also:

$\displaystyle \vec{r}_{2,Luft}\, = \, \mathbf{R}_{2}\mathbf{T}_{21}\mathbf{R}_{1}\vec{r}_{1,Luft}$ (11)

Das Produkt $ \mathbf{A}$ der drei Matrizen $ \mathbf{R}_{2}\mathbf{T}_{21}\mathbf{R}_{1}$ nennt man Systemmatrix.


Um nun einen konkreten Strahlengang zu berechnen, fehlt nicht mehr viel: Die Lichtquelle muß mit einer Übertragungsmatrix $ \mathbf{T}_{01}$ auf die Linse ,,transportiert'' werden, dann mit der Systemmartix $ \mathbf{A}_{21}$ gebündelt oder zerstreut werden und zum Schluß wieder mit einer Transformationsmatrix (Übergangs-) in die Bildebene abgebildet werden. Diese Transformations- oder Übergangsmatrizen sind von der Form

$\displaystyle \mathbf{T}_{01}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  \frac{d_{01}}{n_{Luft}} & 1 \end{array} \right)$ (12)

wobei hier $ d_{01}$ der Abstand zwischen der Lichtquelle (0) und der Linse (1) ist.

Sollen mehrere Linsen behandelt werden, so müssen die Matrizen in geschickter Weise kombiniert werden:

$\displaystyle \mathbf{A}_{n\,1}\, = \, \mathbf{R}_{n}\mathbf{T}_{n\,n-1}\cdots\mathbf{T}_{32}\mathbf{R}_{2}\mathbf{T}_{21}\mathbf{R}_{1}$ (13)

Das bedeutet also, daß man auch ganze Linsensysteme mit Gesamtsystemmatrix durch eine Linse mit derselben Systemmatrix darstellen kann. Das gilt jedoch nur in der (geometrischen) Näherung ! (siehe auch Anleitung).


Erstellt von Philipp Koch

Universität Konstanz - Lehrstuhl Nielaba