Veranschaulichung des Gauß'schen und Stokes'schen Satzes

Der Gauß'sche und der Stokes'sche Satz für Vektorfelder sind in der Elektrodynamik unverzichtbar. Sie stellen ein Werkzeug zur Verfügung, das den Umgang mit den Maxwell'schen Gleichungen erheblich erleichtert. Der Gauß'sche Satz stellt eine Relation zwischen einem Vektorfeld und seiner Divergenz dar, der Stokes'sche Satz tut dies für die Rotation.

Zuerst sei die Divergenz eines Vektorfeldes als Skalarfeld folgendermaßen definiert:

$${div}\vec{A}(\vec{r}) = \underset{\Delta V \to 0}{\text{lim}}\,\frac{1}{\Delta V} \oint_{\Delta C} \vec{A}\, d\vec{F}$$

Es wird also über die Oberfläche $d\vec{F}$ eines Volumenelementes$\Delta V$ am Orte $\vec{r}$ das Skalarprodukt $\vec{A} \cdot d\vec{F}$ aufsummiert. Die Divergenz ist ein Maß für die Quellen-und Senkenstärke eines Vektorfeldes (siehe auch Applet nebenan).

Die Rotation eines Vektorfeldes ist wieder ein Vektorfeld. Dabei ist die Komponente des Vektorfeldes in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors $\vec{n}$ definiert durch:

$$\vec{n} \cdot {rot}\vec{A}(\vec{r}) = \underset{\Delta F \to 0}{\... ...t_{\Delta C}\vec{A}\,d\vec{r}, \qquad \vec{n} = \frac{\Delta\vec{F}}{\Delta F}$$

Über ein Flächenelement $\Delta \vec{F}$ parallel zu $\vec{n}$ ander Stelle $\vec{r}$ mit einem Rand $\Delta C$ wird hier das Skalarprodukt $\vec{A} \cdot d\vec{r}$ summiert.

Der Gauß'sche Satz

Der Gauß'sche Satz besagt nun folgendes:

$$\int_{V}{div}\vec{A}\,\,dV = \oint_{F}\vec{A}\cdot d\vec{F}$$

Anschaulich heißt das, dass der Anteil eines Vektorfeldes, der durch die Oberfläche des Volumens $V$ strömt, aus den Quellen im Volumen$V$ gekommen sein muss bzw. in den Senken des Volumens verschwindet.

Nun muß der Satz aber noch bewiesen werden: Es sei das Volumen $V$ in kleine Teilvolumina $V_{i}$ aufgeteilt. So gilt:

$$\int_{V}{div}\vec{A}\,dV = \sum_{i}\Delta V_{i}\,{div}\vec{A}(\vec{r_{i}})$$

Führt man die letzte Summation tatsächlich aus, so werden wie im Applet sichtbar die inneren Seiten der Teilvolumina im Inneren des Volumens so aufsummiert, dass deren Vektoren $\vec{\Delta V_{i}} = d\vec{F}$ (im Applet rot, grün und blau) antiparallel stehen und sich daher diese inneren Flächen wegheben. Übrig bleibt somit nur die ,,Außenhaut'' des großen Volumens, also dessen Oberfläche. Also ist

$$\sum_{i}\Delta V_{i}\,{div}\vec{A}(\vec{r_{i}}) = \sum_{i}\oint_{\Delta F_{i}} \vec{A} \cdot d\vec{F}$$

Nach dem Grenzübergang von den diskreten, endlichen Flächenelementen $\Delta F_{i}$ zu infinitesimal kleinen Flächen, erhält man so denGauß'schen Satz, wie er oben vorweggenommen wurde.

Der Stokes'sche Satz

Der Stokes'sche Satz ist dem Gauß'schen ähnlich:

$$\int_{F}\mathrm{rot}\vec{A}\,\,dF = \oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}$$

Hier wird das Integral einer Rotation eines Vektorfeldes über eine Fläche in ein Integral des Vektorfeldes selbst über den Rand dieser Fläche überführt. Auch beim Beweis geht man ganz ähnlich vor: Sei die Fläche $F$ in kleine Teilflächen $\Delta F_{i}$ aufgeteilt, so gilt:

$$\int_{F}\mathrm{rot}\vec{A}\,dF = \sum_{i}\Delta F_{i}\,\mathrm{rot}\vec{A}(\vec{r_{i}})$$

Bei der Summation werden wie im Applet sichtbar die inneren Seiten der Teilflächen im Inneren der Fläche so aufsummiert, dass deren innere Wege (im Applet gestrichelt mit roten, grünen, orangenen und blauen Pfeilen) sich aufheben. Übrig bleibt so wieder nur die ,,Außenhaut'' des Fläche, also deren Rand. Also ist

$$\sum_{i}\Delta F_{i}\,\mathrm{rot}\vec{A}(\vec{r_{i}}) = \sum_{i}\oint_{\Delta C_{i}} \vec{A} \cdot d\vec{r}$$

Nach dem Grenzübergang von den diskreten, endlichen Flächen- und Wegelementen $\Delta F_{i}$ bzw $\Delta C_{i}$ zu infinitesimal kleinen Flächen und Wegen, bekommt man den Stokes'schen Satz, wie er oben angegeben wurde.