Applet zur Stetigkeit von E- und B-Feldern an Grenzflächen

Stetigkeit von E- und B-Feldern an Grenzflächen

physikalischer Hintergrund

Elektrische Felder haben beim Eintreten oder Verlassen verschiedener Medien bestimmte Eingenschaften: es treten Unstetigkeiten auf, die im oberen Applet grafisch dargestellt werden.

Mit dem auf die Grenzfläche treffenden Feld, der dazugehörigen Stetigkeitsbeziehung, der Dielektizitätszahl $\varepsilon_{r}$ bzw. der Permeabilitätszahl $\mu_{r}$ und dem Winkel des einfallenden Feldes zur Grenzflächennormalen läßt sich zuerst eine nützliche Beziehung herleiten. Es gilt allgemein

$\displaystyle \frac{E_{1,t}}{E_{1,n}} = \tan \alpha_{1}$ und $\displaystyle \qquad \frac{E_{2,t}}{E_{2,n}} = \tan \alpha_{2}$

wobei die $\alpha_{i}$ die Winkel zur Grenzflächennormalen im Auftreffpunkt von $\vec{E}$ auf die Grenzfläche sind (siehe auch Applet zum Beweis). Daraus folgt dann einfach

$\displaystyle E_{2,n}\,\tan \alpha_{2} = E_{1,n}\,\tan \alpha_{1}$

Mit Gleichung von oben und der Beziehung $E_{2,n}\cdot\varepsilon_{2} = E_{1,n}\cdot\varepsilon_{1}$ folgt dann

$\displaystyle \frac{\tan \alpha_{1}}{\varepsilon_{1}} = \frac{\tan \alpha_{2}}{\varepsilon_{2}}$

Die Herleitung der Beziehung für das B-Feld ist analog zu führen. So sieht man gut die Unstetigkeit der Felder am Materieübergang: Beim E-Feld sind die Tangentialkomponenten gleich, beim B-Feld die Normalkomponenten.

Das $\vec{E}$ -Feld

Um die Stetigkeitsbedingungen für das elektrische Feld herzuleiten, beginnt man mit der folgenden Maxwell'schen Gleichung

$\displaystyle \mathrm{rot}\vec{E} = - \displaystyle{\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}$

Aus dieser folgt mit dem Satz von Stokes der Zusammenhang, wobei C der Rand der Fläche F ist:

$\displaystyle \int_{F}\mathrm{rot}\vec{E} d\vec{F} = \oint_{C}\vec{E} d\vec{s} = - \int_{F}\displaystyle{\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}} d\vec{F}$

Die Fläche, über die integriert wird, soll zur einen Hälfte in Materie 1 und zur anderen Hälfte in Materie 2 liegen (siehe unteres Applet). Läßt man nun die Seitenlängen

normal zur Grenzfläche gegen Null gehen, so schnürt sich die Fläche

(im Applet gelb) auf Null zusammen. Das darin eingeschlossene $\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$ bleibt bei diesem Limes endlich.

Also muß gelten:

$\displaystyle \oint_{C_{1,t},C_{2,t}} \vec{E} d\vec{s}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0,$
$\displaystyle \Rightarrow \qquad \int E_{1,t} ds - \int E_{2,t} ds$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0,$

wobei $C_{1,t}$ und $C_{2,t}$ die Wege tangential zur Grenzfläche sind (violett im Applet). Da dies für jede beliebige Tangetialkomponente eines beliebiges $\vec{E}$ -Feldes gilt, entfallen die Integrale und es folgt die Stetigkeitbedingung für das $\vec{E}$ -Feld: $\vec{E}_{1,t}-\vec{E}_{2,t} = 0$ . Dies läßt sich noch auf eine anschaulichere Form bringen: ( $\vec{n}$ ist Normalenvektor):

$\displaystyle E_{1,t} = E_{2,t}$ oder $\displaystyle \qquad \vec{n}\times\left(\vec{E}_{1}-\vec{E}_{2}\right) = 0$

Das $\vec{B}$ -Feld
Bei dem $\vec{B}$ -Feld geht man in sehr ähnlicher Weise vor: Man startet mit der Maxwell-Gleichung $\mathrm{div}\vec{B} = 0$ , wendet den Gauß'schen Satz an, und erhält

$\displaystyle \int_{V} \mathrm{div}\vec{B}\,dV\, = \,\oint_{\partial V}\vec{B}\,d\vec{F} = 0$

Das Integrationsvolumen wird so gewählt, dass es sowohl in Materie 1 als auch in Materie 2 reicht und die Grenzfläche mit einschließt. Nun soll die Breite des Volumens gegen Null gehen. Dann bleiben vom ursprünglichen Volumen nur noch die Seitenflächen $\vec{F}_{1} = \Delta F \cdot \vec{n}$ und $\vec{F}_{2} = \Delta F \cdot (-\vec{n})$ übrig; $\vec{n}$ ist Normalenvektor. Damit gilt also, da $d\vec{F}\, \Vert\, \vec{n}$ :

$\displaystyle \oint_{\partial V}\vec{B}\,d\vec{F}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Delta F \cdot \left(\vec{B}_{1}-\vec{B}_{2}\right) \vec{n}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Delta F \cdot \left(B_{1,n}-B_{2,n}\right)\, = \, 0$

Und so hat man bereits die Stetigkeitsbedingung des $\vec{B}$ -Feldes gewonnen:

$\displaystyle B_{1,n}\,=\,B_{2,n}$ oder $\displaystyle \qquad \vec{n} \cdot \left(\vec{B}_{1}-\vec{B}_{2}\right)\,=\,0$

Erstellt von Philipp Koch

Universität Konstanz - Lehrstuhl Nielaba