Applet für E-Felder von Multipolen

elektrische Felder von Ladungsverteilungen

physikalischer Hintergrund

Das elektrische Feld einer beliebigen Ladungsverteilung $\rho(\vec{r})$ ist durch

$\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{r'} \rho(\vec{r'}) \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$

gegeben, wobei $\rho(\vec{r}) = \sum_{i} q_{i}\delta (\vec{r}-\vec{r}_{i})$ ist. Setzt man dies in die Gleichung für das elektrische Feld ein, so ergibt sich

$\displaystyle \vec{E}(\vec{r})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int d\vec{r'} \sum_{i}q_{i} \delta (\vec{r}-\vec{r}_{i}) \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i} \int d\vec{r'} q_{i} \delta(\vec{r}-\vec{r}_{i}) \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i}q_{i}\, \,\frac{\vec{r}-\vec{r_{i}}}{\vert\vec{r}-\vec{r}_{i}\vert}$

Dies ist nun das elektrische Feld, das oben im Applet sichbar gemacht wird. Dabei sind die mit i indizierten r's die Orte der Ladungen und das ,,normale'' r die Rasterpunkte, an denen das E-Feld ausgewertet wird.

Aus dem elektrischen Feld läßt sich über die Beziehung $\vec{E}(\vec{r}) = -\, \mathrm{grad}\, \phi(\vec{r})$ das Potential $\phi$ herleiten:

$\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{r'} \, \rho(\vec{r'})\,\frac{\vec{r... ...{grad}\,\int d\vec{r'} \, \rho(\vec{r'})\,\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$

Hierbei wurde die Beziehung $\mathrm{grad}_{\vec{r}}\, \frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert} = -\,\frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert^{3}}$ verwendet. Also ist

$\displaystyle \phi(\vec{r}) = \int d\vec{r'} \,\rho(\vec{r'})\,\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$

Mit der oben gegebenen Ladungsverteilung folgt daraus dann

$\displaystyle \phi(\vec{r}) = \sum_{i} \,q_{i}\,\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}_{i}\vert}$

Erstellt von Philipp Koch

Universität Konstanz - Lehrstuhl Nielaba